La suite binaire de "décimation" dite "suite du lézard".
En mathématiques, le domaine des suites numériques dure au moins depuis Eratosthène et son "crible" des nombres premiers.
D’autres suites sont même célèbres depuis la Renaissance, telle que la remarquable "suite de Fibonacci", spécialement connue aussi par les architectes,les peintres et les sculpteurs (...le nombre d’or).
Depuis 2004-2005, le mathématicien Eric Angélini propose une nouvelle classe de suites numériques : les suites de "décimation" qui génèrent des questions dont les réponses sont d’une grande difficulté.
Ces suites méritent, à juste titre, le nom de suite fractales, en particulier la suite binaire de décimation qui a été baptisée "suite du lézard".
Voici cette suite:
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 . .
Prenez – et rangez – un terme sur trois (le terme n°3, n°6, n°9 etc..) et vous obtenez une suite identique à la suite initiale:
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 . .
De plus, le "reste" (termes 1,2 4,5 7,8 etc..) révèle la même séquence !
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 .
Cette suite est la seule suite binaire commençant par zéro qui dévoile une telle propriété fractale extrême : nul besoin de «zoomer » pour découvrir un sous-ensemble identique au tout !
Questions ouvertes pour les mathématiciens :
- Le calcul des 100,000 premiers éléments montre 68'967 ‘0’ et 31'033 ‘1’.
Est-ce que le rapport du nombre de ‘0’ / ‘1’ converge ou non ? Et si oui quelle en est la limite ?
- La suite est-elle périodique à partir d’un certain rang ? Probablement pas mais comment le démontrer ?
- Existe-t-il des séquences de ‘0’ aussi longues qu’on veut ou y a-t- il un nb maximum de ‘0’ consécutifs ?
- La suite est-elle transcendante ?
Ref : Article de Jean-Paul DelaHaye « Pour la Science » Mars 2007
Défis possibles pour artistes :
Avant que les machines I.A. (Ex : iArtist ) ne commencent, jouer avec cette suite, ainsi que l’ont fait des artistes connus avec les nombres premiers ou les suites de Fibonacci et de Thue-Morse.
Cette "suite du lézard" est remarquable dans son concept et son intemporalité. La "traduire" en dessins et peintures en révèleraient son extraordinaire beauté.